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7 août 2009 5 07 /08 /août /2009 16:10
Pendant les vacances, quelques détours par les grands textes qui soutiennent l'édifice.



Une traduction de cet ouvrage fondateur de la géométrie que l'on utilisait encore hier soir
(d'aujourd'hui je ne suis plus très certain)












Une autre interprétation/traduction,
qu'en donne le célèbre mathématicien  Adrien Marie Legendre

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20 avril 2009 1 20 /04 /avril /2009 20:35
A l'excés des définitions que nos ancètres ou nos ainés devaient apprendre par coeur en grand nombre au point que leur sens finissait par disparaître, à succédé l'absence de toute définition.

Ainsi il est rare qu'un élève de sixième, ou même de troisième, soit capable de définir un nombre, un point, une droite.

De temps à autres, lire une vieille page où sont résumées (parfois de façon imparfaite, mais le plus souvent dans une forme parlante qui aide à construire un sens) fait du bien.

Ici les notions définies sont des plus élémentaires :
 Nombre - Grandeur - Quantité

http://accel10.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/arithmetique-intuitive-et-pratique/nombres-et-grandeurs.jpg


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/----2008/sesamaths/6/le-manuel.jpgpour accéder au lexique du manuel Sesamath 6ème
cliquer sur la couverture





Voir aussi les articles NOMBRE    QUANTITE   GRANDEUR(physique) de  l'encyclopédie coopérative Wikipédia



Les exercices de Maths En Poche à propos des nombres (Entiers, Décimaux et Fractionnaires)

Chapitre 6N1 : Entiers et Décimaux



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11 mars 2009 3 11 /03 /mars /2009 21:26

Le lexique  (merci à JP Chabert) donne :



  Droit
 
 
Un angle droit est un angle formé par deux droites (ou demi-droites, ou segments) perpendiculaires.
Il mesure 90°, soit 100 gr, ou encore  pi /2 rad. C'est la moitié d'un angle plat, ou le quart d'un angle plein (tour complet).
 
  Voir : angle, perpendiculaire.  








Une définition qui n'utilise pas la mesure de l'angle ou la notion de perpendiculaire peut être.

Lorsque deux angles définis par une droite et une demi-droite sont adjacents et égaux, on dit que la demi-droite est perpendiculaire à la droite.

Les deux angles (égaux) formés sont alors appelés "angles droits"

On peut alors démontrer le théorème de l'unicité de la perpendiculaire en s'appuyant sur la figure donnée ci-dessus.


  THEOREME :
 
  Par un point M pris sur une droite (AB) on peut toujours mener une perpendiculaire à cette droite, et celle-ci est unique.   

En effet, on voit que la demi-droite mobile qui tourne autour du point M définit un angle sur la droite qui croît depuis la valeur zéro, en même temps que l'angle adjacent décroit.
Il y aura donc une valeur pour laquelle ces deux angles sont égaux, et une seule.
Cette position (unique) déterminera deux angles droits.



Sur le manuel (à venir de Sesamath) sixièmes
la construction d'un segment ou d'une droite perpendiculaire à une autre, à l'aide de l'équerre :






 




Chapitre correspondant en sixième sur Maths En Poche



1. ... avec la mesure.
2. Reconnaître "à l'oeil".
3. Reconnaître la nature d'un angle avec l'équerre.
4. Reconnaître la nature d'un angle avec l'équerre (bis).
5. Reconnaître la nature de plusieurs angles avec l'équerre.






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15 décembre 2008 1 15 /12 /décembre /2008 17:59
Le mathématicien averti manque parfois d'étonnement
c'est à dire de recul sur sa propre matière.

C'est une bonne chose parce que c'est grâce à cela qu'il a un peu d'assurance face à ses élèves.

Le revers est que parfois, l'origine de ce qui est difficulté pour l'élève lui est totalement étranger.

Stella Baruk n'a eu de cesse de montrer que les mots que nous utilisons sont parfois, en eux-même, cause de confusion chez l'élève.
C'est le cas assurément du mélange des mots construits à partir du latin ou du grec, comme le sont par exemple
les quadrilatères (figures fermées ayant quatre côtés) dont les composés (quadri et latère) viennent du latin
et pentagone (figures fermées ayant cinq côtés) dont les composés (penta et gones) viennent eux du grec, le premier terme évoquant dailleurs les côtés (latère) et le second les angles (gones)

C'est aussi le cas dans la famille des triangles où l'adjectif qui qualifie les triangles qui ont deux côtés égaux est isocèle ("deux jambes égales") alors que son "homoglote" désignant le triangle dont les trois côtés sont égaux est équilatéral ("côtés égaux") qui a détrôné on ne sais pourquoi (merci si quelqu'un connait l'origine de cette prise de pouvoir) le terme en provenance du grec isopleure
Totalement oublié à ce jour, mais qu'on retrouve ici ou là



(construction du triangle isopleure (équilatéral) au compas)
pour l'article de vikidia, cliquer sur l'image

Donc, un peu d'indulgence si l'élève a du mal ... à passer sans cesse du latin au grec
et par exemple ne connait pas le sens du mot
diorthotétragone*.



*
Pour construire un diorthotétragone
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14 décembre 2008 7 14 /12 /décembre /2008 15:36
En provenance des écrits de Charles de Bouelles,
 nourri au berceau des éléments d'Euclides,
ce petit morceau de poème qui évoque les arts utiles
en rapport avec la raison raisonnante
que sont l'arithmétique et la géométrie.


(illustration extraîte de l'ouvrage)

Sur tous les arts qui sont dicts libéraux
Servans à tous tant doctes que ruraux
Le principal, après l'arithmétique,
est le Sçavoir appellé géométrique.
Tous artisans et gens mercuriaux
Qui ont désir trouver secrets nouveaux
De mesurer faut qu'ayent la pratique
Sur tous les arts.



Du même auteur, une liste du vocabulaire de la géométrie







Au passage, une petite définition du point qui montre qu'au temps de l'auteur
1 n'était pas considéré comme un nombre.

Ici Charles de Bouelles établit un parallèle souvent utilisé
entre les êtres élémentaires de l'arithmétique et ceux de la géométrie
(Mais ce n'est pas celui auquel nous sommes habitués, puisqu'il considère en particulier que la droite est à associer au nombre 2 deux, le plan au nombre 3 et l'espace au nombre 4.)





(ce qui règle d'une certaine manière la question de savoir s'il est premier ou non
mais est cause de soucis supplémentaires)


Pour terminer, une situation où l'on applique le théorème de Thalès.




Si l'on connait la profondeur du puits, sans corde pour mesurer, il est possible de savoir quelle hauteur d'eau il contient.

(Introduction possible au Cosinus d'un angle ? ...)
.


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11 décembre 2008 4 11 /12 /décembre /2008 12:07
Une conséquence du théorème de Thalès, ce procédé pour équi-partitionner un segment.

Si une famille de droites sont parallèles et rejoignent une droite qu'elles coupent en segment égaux, alors toute autre droite qu'elles couperont sera également divisée en segments égaux.

   
   


La variante dans cette présentation, avec le procédé généralement donné* ,qui suppose la construction des parallèles, utilise la propriété caractéristique du parallélogramme à savoir que s'il y a équipartition de [AC] et de [BD] alors les droites sont parallèles.

Attention : contrairement à l'autre méthode, il faut un segment de moins (en B et A) que de parties que l'on souhaite définir sur le segment [AB].




Voir la solution habituelle
ici sur l'île des maths  http://www.ilemaths.net/forum-sujet-56534.html

Ou sur le site de Dominique Pernoux qui fourmille de ressources (une animation qui donne la construction pas à pas) ici http://dpernoux.free.fr/Essai/partage.htm
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10 décembre 2008 3 10 /12 /décembre /2008 18:33
Un livre de 1676 est entièrement par Bernard Frénicle consacré aux triplets de nombres entiers en rapport avec le théorème de Pythagore.



Cet ouvrage étudie les groupes de trois nombres entiers auquels correspond un triangle rectangle et qui satisfont donc à la relation que donne le manuel Sesamath de quatrième sous la forme



Et que présente ainsi le "Manuel élémentaire de géométrie" de Hugo Boss

(Cette démonstration très rapide suppose des connaissances
que l'on ne voit plus au collège, en rapport avec la notion de "projection")



L'auteur commence par y donner la définition de ces triplets auxquels il donne le nom (curieux) de "triangle rectangles en nombres"

 









                                      


La contraposée du théorème de Pythagore a donc un énoncée particulier du point de vue des nombres entiers.
 









                                  
Ce qui peut se traduire  part :
Si la somme des carrés de deux nombres n'est pas un carré, il n'existe pas de triangle rectangle dont deux les deux côtés de l'angle droit auraient pour mesure ces deux nombres
et qui serait associé à un triangle rectangle en nombre.
   


La propriété n'est qu'une conséquence directe de la contraposée (la contraposée générale, c'est à dire celle qui ne concerne pas que les nombres entiers) du théorème de Pythagore.

si AB² + BC² n'est pas un carré (parfait)

Alors il ne peut pas exister de triangle dont le carré l'hypoténuse serait un carré parfait puisque cette valeur d'après Pythagore vaut
AB² + BC².

Dans la suite, l'auteur affirme que si l'on multiplie par un même nombre entier des "triangles rectangles en nombre" les valeurs obtenues ont la même propriété.

Démonstration assez aisée car si

AB, BC et AC sont entiers et que

AB² + BC² = AC²
et que n est un nombre entier, alors

    (nAB)² + (nBC²) = nAB x nAB + nBC x nBC
             = n²AB² + n²BC²
            = n²(AB² + BC²)
= n²AC²
or ce nombre est le carré parfait de nAC

Ce qui n'est qu'une conséquence de la proportionnalité
Puisqu'en multipliant par un même nombre les trois côtés d'un triangle
on obtient un triangle semblable au premier
et donc rectangle si le premier l'était.   



Pour terminer voici quelques définitions de l'auteur parmi lesquelles on trouve l'hypoténuse (défini comme le grand côté) et étrangement l'aire du triangle défini sans explication comme le demi produit des deux côtés de l'angle droit.



 









                                  
   





Roland Dassonval chasseur de triplets de Pythagore (ceux que l'auteur nomme "Triangles rectangles en nombre") nous propose une carte (la chasse est ouverte toute l'année) indiquant les endroits giboyeux.



Clique sur son image pour y accéder

Pour les rechercher à la main : un autre outil de la même production ici   (merci Roland)





(en marge)


La suite A144965   permet de générer des triplets de nombres qui ont cette propriété

Elle est définie par  :
a(n)= 4n(4xn²+1).

Et donne une famille infinie de ces triplets que Frénicle nomme
"triangle rectangle en nombre"

a(n)²(na(n)+1)² et  racine carrée de (a(n)² + (na(n)+1)²)

Si on choisit par exemple

n = 180
On obtient les trois nombres
 9487658017172660980    et  17172923069

Pour lesquels le triangle associé est rectangle
(mais difficile à construire, car presque "plat" )






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30 novembre 2008 7 30 /11 /novembre /2008 20:25


Ensemble du vocabulaire concernant les polygones et en particulier les triangles et les quadrilatères.




   

 

pages

20 à 26 


 

   
        

 

Géométrie plane 20

 

 

 

Géométrie plane 22

 

 
  page 20 : Perpendiculaires , Angle droit
  page 22 : Triangle rectangle (hypoténuse) , Triangle isocèle , Triangle équilatéral , Quadrilatère


 
  page 21: Distance d'un point à une droite


Droites parallèles , Triangle (sommets, hauteur)

  page 23 : Trapèze , (trapèze rectangle) , Parallèlogramme , Rectangle  
        cliquer sur une page pour l'agrandir
 



A noter : la distinction n'est pas faite entre

le segment (que nous nommons entre crochets. par exemple [AB] qui se lit "segment A B" )

et

la longueur (nommée sans crochet par exemple AB qui se lit "longueur du segment A B" ou plus simplement "longueur A B") .

Les deux sont notés de la même manière, sans crochet


C'est le contexte qui indique de quoi on parle.


Cette confusion existe encore largement avec par exemple le rayon d'un cercle, qui désigne à la fois la longueur et le segment.

Puisqu'on dit "un rayon du cercle" alors que du point de vue de la longueur celle-ci est unique.

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28 novembre 2008 5 28 /11 /novembre /2008 14:17




         
        

Géométrie plane 16

 

Géométrie plane 18

 
  page 17 : Droite, plan, ligne courbe   page 18 : figure plane, surface, volume,
demi-droite, segment de droite


 
      page 19 : ligne brisée, noms des polygones, angles, angles égaux  
         

Le recours systématique aux définitions permet d'assoir les apprentissages sur des données stables.


Un choix s'offre cependant au professeur :

- commencer par donner ces définitions et construire immédiatement ce qui sera le cours

- débuter par des situations proches de ce que connaît l'élève et rendre nécessaire ce nouveau vocabulaire ainsi que les précisions qui l'accompagnent.


Les programmes actuels de sixième supposent que les connaissances évoquées par les deux pages citées, sont acquises


dans les faits, elles n'ont souvent jamais été vraiment précisées

...







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25 octobre 2008 6 25 /10 /octobre /2008 10:10
Issu d'un manuel d'enseignement des années 1930
ce collage de deux pages évoque les unités de mesure des bois de chauffage.

Et en particulier le stère (d'un mot grec qui signifie "solide").





La conclusion est intéressante, selon elle, le stère aurait du être abandonné depuis très longtemps et remplacé par une unité de mesure du poids du bois.

C'est loin d'être le cas en France, où c'est apparemment toujours le volume qui importe, alors qu'en Italie par exemple, on paie effectivement le bois au poids.



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