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Des rubriques et des lieux

14 janvier 2011 5 14 /01 /janvier /2011 22:58

Pour simplifier un programme de calcul, dans le but de le remplacer par un autre qui fait le même travail (a la même fonction) mais qui est plus simple, il est très utile de savoir 

- utiliser des lettres dans des calculs littéraux

- développer des écritures littérales

- simplifier des écritures littérales

ou

- encore factoriser des écritures littérales, notamment en utilisant les identités remarquables.

 

Par exemple, si on donne le programme de calcul suivant

 

  1 2 3 4  

Nombre

d'entrée

Multiplier par 3 mettre au carré additionner 12 fois
le nombre en entrée
additionner 4

Nombre

en sortie

 

On peut tester ce programme avec un certain nombre de valeurs.

 

On obtiendra ainsi les résultats ci-dessous.

 

  1 2 3 4  

Nombre

d'entrée

Multiplier par 3 mettre au carré additionner 12 fois
le nombre en entrée
additionner 4

Nombre

en sortie

-5

-5 x 3 = -15 (-15)²=225 225 + 12x(-5)=165 165+4=169

169

1

3 9 21 25

25

4

12 144 192 196

196

 

Pour cela tu peux aussi utiliser le tableau de calcul que j'ai  proposé précedemment

 

 

Utilise la seconde feuille, celle qui sert pour essayer d'autres programmes que les deux proposés ici.

 

 

 

Une petite observation rapide des résultats fait apparaitre que ceux-ci sont toujours des carrés.

L'étude de la relation entre le nombre de départ et le carré de fin, montre à celui qui est courageux et perspicace, que le carré final est celui de

"trois fois le nombre de départ auquel on a ajouté 2"

 

En effet pour -5 on obtient

(3x(-5)+2)² = (-15 + 2)² = (-13)² = 169

 

Pour 1 on obtient

(3x(1)+2)² = (3 + 2)² = (5)² = 25

 

Pour 4 on obtient

(3x(4)+2)² = (12 + 2)² = (14)² = 196

 

Les résultats sont bien ceux que l'on a obtenu

avec le programme de calcul en quatre étapes.

 

On peut donc remplacer le premier programme de calcul

par celui, beaucoup plus simple


 

  1 2 3  

Nombre

d'entrée

Multiplier par 3 additionner 2 mettre au carré

Nombre

en sortie

 

Programme qui peut aussi s'écrire sous la forme d'une fonction (que je choisis ici d'appeler f)

 

La fonction qui à un nombre x fait correspondre (3x+2)²

 

Que l'on peut également écrire :

f : x -----> f(x) = (3x+2)²

 

Ici nous n'avons rien démontré

nous sommes parti de trois exemples qui semblent prouver ce que l'on pense.

 

Pour démontrer que les deux programmes sont équivalents,

il faut montrer sur une valeur non particulière (écriture littérale)

que ces deux programmes "font la même chose".

 

Commençons par le premier

 

Si le nombre en entrée est x ,

alors, après la première étape du programme (le premier pas) on obtient

3 x x 

(nombre d'entrée multiplié par trois)


après la seconde étape, on obtient

(3 x x)² = x x² = 9 x²

  (résultat précédent au carré) 

 

après la troisième étape, on obtient

 9 x² + 12x 

  (résultat précédent  plus douze fois le nombre en entrée) 

 

 

après la quatrième étape, on obtient

 9 x² + 12x + 4

  (résultat précédent  plus quatre)

 

 

Le second programme donne, à partir du nombre x en entrée

le résultat final :

 (3x+2)²

 

Or, si on développe ce résultat

par exemple en se servant de l'identité remarquable

(a + b)² = a² + 2ab + b²

on obtient

(3   x)² + 2x 3xx  2 + 2²

Ce qui donne

9x ² + 12x  + 4

 

Les deux programmes de calcul

donnent le même résultat pour une valeur quelconque x.

(et pas seulement pour trois valeurs exemples particulières)

 

Nous avons donc démontré que l'on peut remplacer l'un par l'autre.

 


La remarque qui rassure un peu : Dans un exercice de type brevet, la démarche générale aurait été largement guidée par des questions annexes pour permette de parvenir à cette conclusion.

 

 


 

 

 

 

 

Un outil aurait pu aider ceux qui ont des difficultés à développer

ou à factoriser une expression

c'est la fameuse calculatrice wiris

 

 

calculette scientifique
Wiris

 

Ci dessous, les résultats des quatre étapes du premier programme de calcul

 

La dernière étape correspond au résultat final que nous avons trouvé, à savoir :

9x ² + 12x  + 4

 

La calculette permet de calculer le développement
correspondant au second programme  :

 

Et si nous n'avions pas trouvé
(ce qui n'est pas vraiment évident)

cette version simplifiée du programme,

en demandant à la calculette de factoriser on l'aurait obtenu :


 

Ce résultat s'obtient en utilisant l'identité remarquable  :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

avec a = 3   x et b = 2


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Published by comeau-montasse Comeau-Montasse - dans Brevet Blanc
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