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2 octobre 2006 1 02 /10 /octobre /2006 20:39

Ici nous allons revisiter la multiplication telle que nous la posons depuis ... longtemps


Pour commencer,
donnez une décomposition du produit (multiplication) de 69 par 47 
(c'est à dire (60 + 9) x (40 + 7) )
en quatre termes

lorsque vous aurez votre proposition, regardez la mienne en cliquant sur l'image

La manière classique de poser cette multiplication est

Mais il y a un certain nombre de sous-entendus (cette fameuse question des "retenues")

Il existe une autre manière de poser les multiplications dite par
jalousie (par allusion aux fenêtres qui possèdent des ouvertures en biais, presque des meurtrières permettant de regarder sans être vue )


(source wikipédia, voir aussi
ici)

autre exemple :


Une manière intermédiaire de poser cette opération est la suivante
(qui combine les deux)

On voit clairement les quatre étapes et la raison pour laquelle on "rajoute des zéros" comme on dit dans les petites classes.

Le lien est alors fait avec notre décomposition du début, puisqu'on y retrouve nos quatre multiplications.
La somme des quatre produits donnant le résultat final de la multiplication.

On pourrait s'intéresser (je sens que vous alliez y venir naturellement (sourire²) )
à ce qui se passe lorsque les deux termes de la multiplication sont identiques
c'est précisément ce que nous allons voir.

Ainsi si le précédent calcul était 47 x 47  
on obtiendrait alors la décomposition

On voit que
si le produit de deux sommes donne en général quatre termes
(60 + 9) x (40 + 7) = 7 x 9 + 7 60 + 40 9 + 40 60 
ou plus généralement
(a + b) x (c + d) = d b + d  a + c b + c  a = db + da + cb + ca 
 
dans le cas de deux sommes identiques, il est possible de le réduire à 3
(40 + 7) x (40 + 7) = 7 x 7 + 7 40 + 40  7 + 40  40
c'est à dire              =  7² + 2 x 7 40 + 40²
ou plus généralement
(a + b) x (a + b) = b b + b  a + a b + a  a = a² + 2ab + b² 
 

On verra plus loin que dans un autre (et unique cas) on peut réduire à seulement 2 termes.

 


merci à J-C Salmon pour sa relecture attentive qui m'a permis de relever quelques coquilles

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Published by comeau-montasse Comeau-Montasse - dans Geombre
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