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1 avril 2005 5 01 /04 /avril /2005 23:00

A partir du cube

Un travail intéressant permettant de développer la vision dans l'espace

Dessin en perspective cavalière du cube

Dessin du tétraèdre régulier

Ce travail peut se faire en quatre étapes

Sections de chaque "coins" du cube en passant par une des diagonales d'une face et en "ressortant" par un sommet de la face opposée
(C'est à dire par un plan qui passe par cette diagonale et un des points de la face opposée qui ne se trouve pas sur la diagonale parallèle)

Remarque : Il est bien sur possible

- de nommer les sommets sur le dessin au tableau
- laisser les élèves nommer d'eux même ces sommets
- ne pas nommer ces sommets pour rester dans un registre très visuel.

A ce niveau, un travail peut être réalisé (programme de quatrième) sur les volumes

- des sections
- du tétraèdre qui émerge des quatre sections

Travail qui peut déboucher sur une formule générale permettant (utilisation du théorème de Pythagore)
de calculer le volume d'un tétraèdre régulier à partir de la valeur de son arète. (diagonale du cube)

Dès lors il est également possible de déterminer la valeur de sa hauteur (en utilisant la formule générale valable pour les pyramides).

Dessin de l'octaèdre inscrit

Ce tracé utilise les milieux des arètes du volume précédemment défini.

Chaque "coin" du tétraèdre est "coupé" en passant par trois de ses milieux.

Ici aussi, un travail intéressant peut-être proposé

Concernant les longueurs : 

On peut commencer par démontrer (théorème des milieux) que toutes les faces du volume défini sont des triangles équilatéraux.

Puis par déterminer la mesure du côté des carrés définis par la figure.
Mesure assez remarquable puisqu'elle est égale à la moitié de celle de la diagonale d'une face du cube.

Pour cela on utilisera le théorème des milieux en considérant une face du tétraèdre. 

Dès lors il est possible de calculer le volume de l'octaèdre en considérant qu'il est constitué de deux pyramides à base carrée, de hauteur dont on peut facilement déterminer la longueur.

A partir de ce calcul, il est possible également de déterminer le volume des parties "retirées" et donc la hauteur de ces volumes
(dont on démontrera qu'il s'agit de tétraèdres réguliers

Section suivante

Juste pour le plaisir et pour ceux pour lesquels le quart d'heure proposé pour le travail était de trop (franc sourire)

On proposera de réitérer le même procéder.

Ils pourront (toujours le théorème des milieux) déterminer la nature des faces (triangle équilatéral et carré) ainsi que les mesures des côtés concernés.

Merci des avis éventuels concernant ce thème d'activité.

Une page intéressante sur la toile :
http://mathworld.wolfram.com/Octahedron.html

 

 

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Published by comeau-montasse Luc comeau-montasse - dans Geombre
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commentaires

infophile 22/06/2006 18:04

"Merci des avis éventuels concernant ce thème d'activité"
==> Très interessant, puisque ma vision dans l'espace est très limitée sourire²

06/07/2006 16:53

Merci du retour
La vision dans l'espace se perfectionne avec le temps...donc à ton  âge, pas d'urgence